Reelle Funktionen

Es ist Samstag Abend in einem Münchener Club. “Einen Vintage 2008, bitte!“, schreit Finnja lautstark dem Barkeeper entgegen. Sie ist heute mit ihren Freunden unterwegs, um das frisch bestandene Abitur zu feiern. Natürlich dürfen für einen angemessenen Abend keiner ihrer Freunde verdursten und somit wird reichlich bestellt. Ganz zu Lasten des armen Barkeepers, der die auf ihn einprasselnden Bestellungen bearbeitet. Wie durch ein Wunder bringt dieser die umfangreichen Bestellungen an die richtige Frau und den richtigen Mann. Nach kurzer Zeit sitzen nun die vier Freunde mit ihren Getränken am Tisch. Während Valentin und Charly den Abend mit einem Lemon Gin bzw. einem Moscow Mule noch entspannt einleiten, gehen Finnja und Jonas mit einem jeweils exklusiven Schaumwein direkt auf’s Ganze, denn immerhin wird heute das Abitur gefeiert.

Natürlich fragen wir uns nun, was denn die Getränkebestellungen einiger Abiturienten mit der Mathematik zu tun hat. Doch damit haben wir bereits eines der wichtigsten Konzepte der Analysis — die Funktionen — kennengelernt. Durch den Barkeeper werden den einzelnen Personen der Freundesgruppe ihr jeweiliges Getränk zugeordnet. Man könnte nun den Barkeeper als eine Funktion auffassen, denn er nimmt eine Person aus der Gruppe und ordnet dieser ein Getränk aus der Getränkekarte zu.

Eine Funktion \(f\) ist eine Abbildung, die jedem Element \(x\) aus der Definitionsmenge \(D\) genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\) zuordnet.

\(f:D\rightarrow W,x\in D\mapsto f(x)\in W\)

Anmerkung Salopp gesagt ist also die Definitionsmenge alle Werte \(x\), die in die Funktion eingesetzt werden dürfen/sollen, während die Wertemenge alle Werte \(y\) sind, die für alle eingesetzten Werte \(x\) als Ergebnis rauskommen. 
Beispiel 
  1. Die Funktion \(f:\text{Personen}\rightarrow\text{Personen},\text{Person}\mapsto\text{Beziehungspartner}\) ordnet jeder Person aus einer Personengruppe ihren Freund/ihre Freundin zu.
  2. Die Funktion \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto 3x+1\) ist eine sog. lineare Funktion.
  3. Die Funktion \(h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto \frac{1}{n}\) ordnet jeder natürlichen Zahl \(n\in\mathbb{N}\) eine reelle Zahl \(h(n)\in\mathbb{R}\) zu. Funktionen mit einer natürlichen Definitionsmenge nennt man auch Folgen.
  4. \(i:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\pm\sqrt{x}\) ist keine Funktion. Einem Element \(x\in[0,\infty)\) aus der Definitionsmenge werden durch das \(\pm\) jeweils zwei Werte zugeordnet. Dies widerspricht der Definition einer Funktion, denn jedem \(x\) aus der Definitionsmenge wird genau ein Element \(y\) aus der Wertemenge zugeordnet.

Wir können also unseren fleißigen Barkeeper als Funktion

\(f:\text{Freundesgruppe}\rightarrow\text{Getränkekarte}, \text{Person}\in\text{Freundesgruppe}\mapsto\text{Getränk}\in\text{Getränkekarte}\)

auffassen. Durch die Funktion \(f\), also dem Barkeeper, wird jeder Person aus der Freundesgruppe genau ein Getränk, das diese Person bestellt hat, zugeordnet.

Zur Verdeutlichung können wir diese Funktion noch etwas konkretisieren. Die Definitionsmenge der Funktion \(f\) sind also alle Personen, die beim Barkeeper bestellen können. In unserem Fall wäre das also

\(D=\{\text{Valentin, Finnja, Jonas, Charly}\}\)

Die Wertemenge der Funktion \(f\) sind nun also die Getränke auf der Getränkekarte, denn der Barkeeper ordnet den Personen jeweils ein Getränk zu.

\(W=\{\text{Lemon Gin, Vintage 2008, Wild Berry, Moscow Mule}\}\)

Nachdem alle Bestellungen eingegangen sind, hat sich der Barkeeper natürlich die Namens- und Getränkepärchen gemerkt. Wir können ihn nun fragen, wer welches Getränk hat, indem wir die entsprechenden Namen in die Funktion einsetzen. Wir werten also die Funktion an der Stelle des Namens aus. So erhalten wir bspw.

\(f(\text{Valentin})=\text{Lemon Gin}\)

\(f(\text{Finnja})=\text{Vintage 2008}\)

Im Laufe des Abends stößt noch Maria auf die feiernde Gruppe. Auch sie möchte sich, um das Abitur ihrer Freunde zu feiern, ein Getränk bestellen. Bedauerlicherweise ist sie noch nicht volljährig, was dazu führt, dass der Barkeeper ihr kein Getränk ausschenken darf, da sich dieser dadurch strafbar machen würde. Offensichtlicherweise kann Maria dadurch nicht in die Definitionsmenge aufgenommen werden. Es gilt also

\(\text{Maria}\notin D\)

Würden wir nun versuchen den Barkeeper zu fragen, was Maria bestellt hat, so würden wir keine Antwort erhalten. Ein Auswerten der Barkeeperfunktion \(f\) würde also für Maria nicht definiert sein:

\(f(\text{Maria})=\times\)

Maria stellt damit eine sog. Definitionslücke dar.

 Seien \(M,W\) Mengen. Eine Funktion \(f:M\setminus\{x_0\}\rightarrow W\), die für jedes Element \(x\in M\) definiert ist außer für das Element \(x_0\in M\), hat in \(x_0\) eine Definitionslücke.

Anmerkung Eine Definitionslücke ist also ein Element, das nicht in die Funktion eingesetzt werden darf, da ansonsten ein Definitionskonflikt entstehen würde. Die Definitionsmenge muss dementsprechend angepasst werden und die Lücke aus dieser Menge herausgenommen werden.

Nach kurzer Zeit sind die bestellten Getränke nun gemischt und der Barkeeper wartet auf die Kellnerin, die anschließend die Getränke zur Freundesgruppe bringen und an die entsprechenden Personen verteilen soll. Natürlich weiß die Kellnerin nicht, wer welches Getränk bestellt hat. Sie sieht nur die verschiedenen, fertig zubereiteten Drinks auf dem Tablett stehen. Sie muss nun also den Barkeeper fragen, welches Getränk zu welcher Person gehört.

Wir können nun die Aufgabe der Kellnerin, nämlich das richtige Zuordnen der Drinks an die richtige Person, ebenfalls als eine Funktion auffassen.

\(f^{-1}:\text{Getränkekarte}\rightarrow\text{Freundesgruppe}, \text{Getränk}\in\text{Getränkekarte}\mapsto\text{Person}\in\text{Freundesgruppe}\)

Wir stellen fest, dass sich hierbei die Definitions- und Wertemenge im Vergleich zur Funktion des Barkeepers \(f\) tauschen. Es tauschen sich ebenso die Richtungen der Abbildungspfeile in untenstehende Abbildung.

Um die Funktion \(f^{-1}\) genauer zu verstehen, werten wir nun die Funktion an einigen Stellen aus und vergleichen die Ergebnisse mit den Auswertungen der Funktion \(f\).

\(f(\text{Valentin})=\text{Lemon Gin}\)

\(f(\text{Finnja})=\text{Vintage 2008}\)

\(f^{-1}(\text{Lemon Gin})=\text{Valentin}\)

\(f^{-1}(\text{Vintage 2008})=\text{Finnja}\)

Betrachten wir die Auswertungen der Funktion des Barkeepers \(f\), so stellen wir fest, dass deren Ergebnisse jeweils ein Getränk \(\in\) Getränkekarte sind, während hingegen die Ergebnisse der Funktion der Kellnerin \(f^{-1}\) jeweils eine Person \(\in\) Freundesgruppe sind. Man nennt die Ergebnisse einer Funktion auch Bilder. So sind bspw. Lemon Gin und Vintage 2008 Bilder der Funktion \(f\). Valentin und Finnja sind Bilder der Funktion \(f^{-1}\).

Das Bild einer Funktion \(f:D\rightarrow W\) ist die Menge der Werte aus der Wertemenge \(W\), die die Funktion \(f\) auch tatsächlich auf ihrem Definitionsbereich \(D\) annimmt.

\(\text{Bild}(f):=f(D):=\{f(x)\vert x\in D\}\)

Anmerkung Das Bild einer Funktion ist also alle Ergebnisse, die rauskommen, wenn man die Funktion für alle einzelnen Werte \(x\in D\) aus dem Definitionsbereich auswertet.

Schauen wir uns nun die Bestellung von Valentin genauer an: Da Valentin Lemon Gin bestellt hat, verbindet der Barkeeper dieses Getränk mit seinem Namen. Wenn wir also als Ergebnis der Barkeeperfunktion \(f\) den Lemon Gin erhalten möchten, müssen wir die Funktion über Valentin auswerten. Valentin ist in diesem Fall das Urbild von Lemon Gin.

Sei \(f:D\rightarrow W\) eine Funktion und \(X\subseteq W\) eine Teilmenge aus dem Wertebereich \(W\). Dann bezeichnet man die Menge
\(f^{-1}(X):=\{x\in D\vert f(x)\in X\}\)
als das Urbild von \(X\) unter \(f\).

Anmerkung Das Urbild ist also der Wert \(x\in D\), der in die Funktion für das Argument eingesetzt werden muss, damit man ein gewünschtes Ergebnis \(y\in W\) erhält. Anders gesagt: Ist also \(x\) ein Urbild von \(y\), so ist \(f(x)=y\).

Schauen wir uns nun ein paar Beispiele von Urbildern unserer Barkeeperfunktion \(f\) an. Möchten wir bspw. wissen, wer Vintage 2008 bestellt hat, so interessieren wir uns für dessen Urbild. In der Abbildung können wir leicht erkennen, dass Finnja den teuren Schaumwein bestellt hat. Finnja ist also das Urbild vom Vintage 2008:
\(f^{-1}(\text{Vintage 2008})=\text{Finnja}\)
, weil
\(f(\text{Finnja})=\text{Vintage 2008}\)
 
Kommen wir zurück zu unseren feiernden Freunden in der Bar. Der Barkeeper hat bereits die ersten Getränke zubereitet und entschließt sich eine kleine Zigarettenpause einzulegen. Gemütlich im Freiraum stehend fällt ihm ein, dass er zwei Getränke noch gar nicht zubereitet hat und voreilig in die Pause gegangen ist. Er erinnert sich noch daran, dass ein Wild Berry und ein Moscow Mule fehlen und überlegt nun, ob er seine Pause sofort beenden sollte, denn sein Trinkgeld hängt natürlich von der Zufriedenheit seiner Gäste ab. Es wäre natürlich für ihn sehr schade, wenn die Gäste, die am meisten Trinkgeld geben, auch am längsten auf ihr Getränk warten müssten.
 
Wir müssen also nun herausfinden, wer den Wild Berry und den Moscow Mule bestellt hat. Wir brauchen also deren Urbilder:
\(f^{-1}(\{\text{Wild Berry, Moscow Mule}\})=\{\text{Jonas, Charly}\}\)
 
Plötzlich erinnert sich der Barkeeper wieder an die Kunden und kehrt eilig an seinen Arbeitsplatz zurück, denn Jonas und Charly haben die vergessenen Getränke bestellt und die beiden geben meistens auch das größte Trinkgeld.
 
Interessant wird es nun, wenn wir zurück zur Kellnerin mit ihrem Tablett voller Getränke kommen. Sie sieht nur eine große Menge an unzuordenbaren Flaschen und Gläsern und muss nun jeweils den dazugehörigen Besteller finden. Mathematischer ausgedrückt muss die Kellnerin also für jedes Bild der Barkeeperfunktion \(f\) (Getränke) das passenden Urbild (Personen) finden, das das Getränk bestellt hat. Die Kellnerin kann damit als sog. Urbildfunktion aufgefasst werden

Sei \(f:D\rightarrow W\) eine Funktion. Eine Funktion \(f^{-1}:\mathcal{P}(W)\rightarrow \mathcal{P}(D)\), die jedem Element \(Y\subseteq\mathcal{P}(W)\) der Potenzmenge des Wertebereichs das Urbild \(f^{-1}(Y)\subseteq\mathcal{P}(D)\) zuordnet, nennt man Urbildfunktion.

Anmerkung Die Urbildfunktion \(f^{-1}\) zeigt also, welche Werte \(x\) des Definitionsbereichs \(D\) in die Funktion \(f\) eingesetzt werden müssen, um bestimmte gewünschte Ergebnisse \(y\) des Wertebereichs zu erhalten.

Anmerkung Die Urbildfunktion ist nicht mit der Umkehrfunktion zu verwechseln. Damit eine Umkehrfunktion existiert, benötigen wir stärkere Voraussetzungen, die wir zu einem späteren Zeitpunkt betrachten werden.

Leider ist die schönste Party auch irgendwann vorbei. Somit verlassen wir nun leider den Münchener Club mit den feiernden Freunden und kommen in eine etwas von Zahlen dominiertere Welt.

In fast allen Teilbereichen der Mathematik spielt eine gewisse Art von Funktion eine große Rolle — die sog. reellen Funktionen.

Eine relle Funktion ist eine Funktion
\(f:D\rightarrow\mathbb{R}\)
wobei \(D\subseteq\mathbb{R}\).
 
Insbesondere ist also sowohl der Definitions- als auch der Wertebereich aus den reellen Zahlen.
Beispiel 
  1. \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^2\) ist eine reelle Funktion.
  2. \(f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{x}\) ist eine reelle Funktion.
  3. $latexf:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C},x\mapsto \text{Im}(x)$ ist keine reelle Funktion, da Funktionswerte sowie Definitionsbereich komplexe Zahlen sind.
  4. Die Barkeeperfunktion ist keine Funktion, da Funktionswerte sowie Definitionsbereich Wörter bzw. keine Zahlenobjekte sind.

Das Schöne an reellen Funktionen ist, dass man diese leicht in einem zweidimensionalen Raum visualisieren kann. Man kann also eine Funktion über ihren Graphen in ein \(x-y\)-Koordinatensystem zeichnen.

Der Graph einer Funktion \(f:D\rightarrow W\) ist die Menge

$G_f:=\{(x,f(x))\in D\times W\vert x\in D\}$

Ein Element des Graphen \(G_f\) ist also ein Paar \((x,y)\), wobei \(x\) ein Element aus dem Definitionsbereich ist und \(y\) das zugehörige Ergebnis, das die Funktion \(f\) bei Auswertung an der Stelle \(x\) liefert.


Schauen wir uns dazu die Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto x^2\) genauer an. Um den Graph der Funktion \(G_f\) darstellen zu können, müssen wir zunächst hinreichend viele Pärchen \((x,f(x)\) ausrechnen, denn diese sind die Elemente des Graphen. Da wir die Funktionsdefinition von \(f\) kennen, können wir sagen, dass jedes \((x,y)\)-Koordinatenpaar – also jeder Punkt im Koordinatensystem – der zum Graphen der Funktion gehört, die folgende Form hat:

\((x,x^2)\in G_f\)

Um die Funktion nun zu zeichnen, müssen wir nur hinreichend viele solcher Pärchen aus \(x\)-Werten und dem dazugehörigen Ergebnis der Funktion – dem Funktionswert \(f(x)\) – berechnen.

Diese Werte reichen uns erstmal, um eine grobe Einschätzung für den Verlauf von \(G_f\) zu bekommen. Natürlich können wir nicht für jedes \(x\in D\) den dazugehörigen Funktionswert \(f(x)\) berechnen, denn dies sind unendlich viele.

Jede Spalte der obigen Wertetabelle ist aber ein Punkt des Graphen. Diese berechneten Punkte zeichnen wir nun in ein Koordinatensystem ein. Man kann nun durch Verbinden der berechneten und eingezeichneten Punkte eine grobe Skizze des Graphen erhalten.

Die in untenstehender Abbildung eingezeichnete grüne Kurve beschreibt den mit unendlich vielen Punkten berechneten Graphen \(G_f\). Unsere berechneten Punkte aus obiger Wertetabelle liegen alle klar auf dem Graphen der Funktion.

Die Beziehung zwischen dem Graphen \(G_f\) einer Funktion, die Funktion $f$ selbst und ein Punkt \(P(x\vert y)\) spielt in unserer Analysis eine große Rolle. Wir formulieren dazu folgenden Satz:

Sei \(f:D\rightarrow W\) eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. Punkt \(P(x\vert y)\) liegt auf dem Graphen von \(f\), d.h. \((x,y)\in G_f\).
  2. \((x,y)\) erfüllt die Funktionsgleichung $latex y=f(x)$

Mithilfe dieses Satzes können wir also einerseits sagen, dass jeder Punkt auf dem Graphen von \(f\) die Form \((x\vert f(x)\) hat.

Andererseits können wir damit überprüfen, ob ein gegebener, anderer Punkt auch auf dem Graphen liegt, indem wir prüfen, ob dieser die Funktionsgleichung erfüllt.

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