Achsensymmetrische Funktionen

Sicher hat jeder von uns damals auch einen halben Schmetterling auf ein in der Mitte angealtetes Blatt gemalt und dieses dann mit noch nasser Wassermalfarbe zusammengefalltet. Dadurch, dass die Farbe noch frisch war, färbte sich automatisch auch die gegenüberliegende Seite und aus dem halben Schmetterling wurde ein Ganzer. Beide Hälften des Schmetterlings sahen dadurch offensichtlicherweise gleich aus.

Man nennt Objekte bzw. Formen, die an einer bestimmten Achse gespiegelt sind achsensymmetrisch. Bei unserem Schmetterling ist die sog. Spiegelachse die Faltlinie des Papiers.

Die Eigenschaft der Achsensymmetrie finden wir auch bei bestimmten reellen Funktionen wieder. Anschaulich gesprochen muss bei einer achsensymmetrischen Funktion, jeder Punkt auf der rechten Seite des Koordinatensystems (1. und 4. Quadrant) anhand der \(y\)-Achse auf die linke Seite gespiegelt werden. Ähnlich wie beim Schmetterling liegen die beiden Seiten der Funktion beim Zusammenfalten an der \(y\)-Achse vollständig übereinander.

Nehmen wir uns nun einen Punkt \((x,y)\in G_f\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) heraus. Dieser ist \(x\) Einheiten von der \(y\)- entfernt und \(y\) Einheiten von der \(x\)-Achse entfernt. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse muss nun dieser Punkt auf die andere Seite des Koordinatensystems wandern und da wieder \(x\)-Einheiten von der \(y\)-Achse entfernt sein. Seine neue Postion auf der \(x\)-Achse ist nun \(-x\). Da beim Zusammenfalten die beiden Punkte ja übereinander liegen müssen, dürfen darf sich der Abstand zur \(x\)-Achse, also die “Höhe” des Punktes nicht verändern. Der \(y\)-Wert der Koordinate bleibt also gleich.

Der gespiegelte Punkt ist also \((-x,y)\). Aus der Definition des Graphen einer Funktion im vorherigen Kapitel können wir nun eine Regel zur Achsensymmetrie entwickeln. Da sich jeder Punkt auf dem Graphen in der Form \((x,f(x))\) schreiben lässt, können wir den ursprünglichen Punkt und den gespiegelten Punkt auch so ausdrücken:

\((x,y)\in G_f \Rightarrow (x,f(x))\in G_f\) mit \(f(x)=y\)

\((-x,y)\in G_f \Rightarrow (-x,f(-x))\in G_f\) mit \(f(-x)=y\)
 
Da \(y\) aus den beiden Aussagen jeweils identisch ist, folgt aus \(y=y\) (offensichtlich), dass
\(y=\underbrace{f(x)=f(-x)}_{\text{Definition}}=y\)
Sei \(f:D\rightarrow W\) eine reelle Funktion. \(G_f\) ist genau dann achsensymmetrisch, wenn für jedes \(x\in D\) gilt:
\(f(x)=f(-x)\)

Anmerkung Eine Funktion ist also genau dann achsensymmetrisch, wenn es egal ist, ob man die Zahl, oder die Zahl mit umgedrehten Vorzeichen einsetzt. Es muss in beiden Fällen der gleiche Funktionswert herauskommen.

Wichtig ist, dass dies für jede Zahl, also für jedes \(x\in D\) aus dem Definitionsbereich gelten muss.

Anmerkung Dies ist ein einfaches Kriterium für die Prüfung einer Funktion auf Achsensymmetrie. Man muss nur mittels Äquivalenzumformungen der Gleichung sehen, dass beide Seiten identisch sind bzw. die Gleichung eine wahre Aussage wiedergibt.

Beispiel Untersuchen wir zunächst das einfache Beispiel \(f(x)=x^2\) auf Achsensymmetrie. \(G_f\) ist achsensymmetrisch, wenn sie die Gleichung der Definition erfüllt:
\(f(x) = f(-x)\)
\(x^2 = (-x)^2\)
\(x^2 = \left((-1)*x\right)^2\)
\(x^2 = (-1)^2*x^2\)
\(x^2 = x^2\)
Wie wir sehen, erfüllt die Funktion \(f\) die Gleichung der Definition und ist somit achsensymmetrisch bzgl. der \(y\)-Achse. Wir haben hierbei ausgenutzt, dass \(-x=(-1)*x\), sowie das Potenzgesetz für Multiplikation \((a*b)^c=a^c*b^c\).

Schreibe einen Kommentar